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100 多年来,为攀登数学研究的珠峰,数学家们做了哪些努力?

曾梦龙2019-09-19 13:31:07

这部精彩的作品就像一首纯粹的诗歌。杜·索托伊对数学的满腔热情流露在字里行间。他赞美智慧,因其照亮了宇宙中最神秘的角落。——西蒙·温彻斯特,英国作家

《悠扬的素数:二百年数学绝唱黎曼假设》

内容简介

黎曼假设,即素数的未解谜题,被视为数学研究的“珠峰”,吸引了一代代数学家投身于数论研究中,其中不乏数学史上的名人。而破解这一谜题过程中的发现,已经给电子商务、量子力学和计算机科学等领域带来了重要影响。本书作者以生动细腻的笔触,将素数的故事娓娓道来。你也能近距离体会数学家的心路历程,以及他们之间竞争与合作的复杂关系,从而对数学家这一群体有更深刻的了解。

作者简介

马库斯•杜•索托伊(Marcus du Sautoy),牛津大学数学教授、西蒙义讲座教授,英国工程暨物理研究委员会研究员,英国皇家学会研究员。他是 BBC 科普节目嘉宾、 TED 演讲嘉宾,《泰晤士报》和《卫报》专栏作家,曾获伦敦数学学会的贝维克奖、大英帝国官佐勋章。他的科普著作《神奇的数学:牛津教授给青少年的讲座》深受读者喜爱。

译者简介

柏华元,物理化学硕士,研究方向为计算化学,用数学描绘化学,用硅基来度量碳基的世界。

书籍摘录

第 1 章 谁想成为百万富翁(节选)

1900 年 8 月的某个早晨,空气潮湿闷热。在巴黎大学的一个拥挤的大厅里,第二届国际数学家大会正如火如荼地进行着。来自哥廷根大学的大卫·希尔伯特教授正在台上发表演讲。他是当时公认的最伟大的数学家之一,其演讲内容大胆、新奇。他要讨论的不是那些已被证明的问题,而是一些尚未解决的问题。这与人们长久以来所接受的传统观念背道而驰。当他阐释关于数学未来的观点时,听众甚至能听出他声音中的忐忑不安。“我们当中有谁不想揭开未来的面纱,探索当今科学的下一步发展历程,以及在未来几百年的发展前景和奥秘呢?”为了迎接新世纪的到来,希尔伯特给观众列出了 23 道难题。他相信这些问题将为 20 世纪的人们在数学探索之路上指明方向。

随后的几十年间,人们见证了其中的多个问题得以解决,而发现问题答案的那群人组成了一个著名的数学家团队,即“荣誉团体”。这个团体中包括库尔特·哥德尔、亨利·庞加莱,以及其他许多用思想改变数学格局的人们。不过还有一个问题,也就是希尔伯特的第八问题,似乎将会安好地度过这个世纪而无人折桂,这就是黎曼假设。

在希尔伯特所设置的这些难题中,第八问题在他心中的地位非同一般。有一个德国神话和腓特烈一世有关,这位备受爱戴的德国国王死于第三次十字军东征时期。有传闻称他依然活着,只是安睡于屈夫霍伊泽山脉,当德国人需要他的时候便会醒来。据说有人问过希尔伯特:“如果你能像腓特烈一世一样复活,那么 500 年后,你想要做什么?”他答道:“我会问‘有没有人证明了黎曼假设’。”

许多人将解决黎曼假设比喻成攀登珠穆朗玛峰。无人攀登的时间越长,我们就越想征服它。最终攀登黎曼假设之峰的数学家,将会比埃德蒙·希拉里被人铭记的时间还要久。人们对于征服珠峰的赞美,不在于峰顶的景色是如何令人叹为观止,而在于克服登顶过程中所遇到的种种挑战。从这个角度来看,证明黎曼假设和征服世界上最高的山峰意义有别。黎曼之峰是我们都想登顶的,因为我们都知道登顶之后展现在我们面前的风景。许多数学家都曾一厢情愿地认为黎曼假设成立,并据此提出了成千上万个定理。而证明黎曼假设的人将有望成功填补这些定理所存在的缺陷。

如此之多的结果依赖于黎曼难题,这也是数学家们称之为“假设”而非“猜想”的原因之所在。“假设”这个词有更深刻的内涵,是数学家用于构建理论的必要设想。相反,“猜想”仅仅代表着对数学家所认为的世界运转规律的一种预测。许多人不得不接受自己无法攻克黎曼谜题这一事实,并只是将他的预测作为一种可用性假设。如果有人可以将这一假设变为定理,那么所有那些还未被证明的结果都将得以验证。

为黎曼假设所吸引的数学家们,希望有一天能够通过证明黎曼假设为真而声名远播。一些人并不仅仅将其作为一种可用性假设,他们看得更远。邦别里坚信,素数会如黎曼假设所预测的那样有规律可循。这成为了人们追求数学真理的精神支柱。长久以来,人们都是凭直觉发现事物的运转规律。然而,如果黎曼假设被证伪,那么将彻底摧毁我们这种信念。我们对黎曼假设的正确性如此深信不疑,以至于要想扭转这一观点的话,需要彻底改变我们的数学世界观。而那些基于黎曼假设为真所生成的定理都将灰飞烟灭。

最重要的是,证明黎曼假设意味着数学家能够通过有力的依据,快速确认 100 位素数,或者其他他们想要选择的任意位素数。你可能会理直气壮地反问:“这与我何干?”除非你是个数学家,否则黎曼假设证明与否,似乎对你的生活不会产生太大影响。

发现上百位的素数,这听起来就像数针尖上跳舞的天使有多少个一样无关紧要。尽管多数人认为数学的意义在于设计飞机或者发展电子技术,但是很少有人能够想到,探索素数的深奥世界会给他们的生活带来多大影响。的确,即使到了 20 世纪 40 年代,哈代也持相同观点:“世间存在一种叫作数论的不食人间烟火的科学理论,高斯和少数数学家或许会为此兴奋不已吧。”

但是,一个新的转折点出现了。素数终于登上了残酷的商业世界的舞台中心。素数不再仅仅是数学界的明星。在 20 世纪 70 年代,三位科学家——罗纳德·L. 李维斯特、阿迪·萨莫尔和伦纳德·阿德曼——将素数的探索从象牙塔中单纯的科研游戏,推广到了重要的商业应用领域。通过研究皮埃尔·德·费马在 17 世纪提出的定理,这三位科学家发现一种方法,让人们在全世界的电商网站上购物时,可以利用素数来保护信用卡号码的安全。这个概念首次问世于 20 世纪 70 年代,当时谁都没想到电子商务会变得像今天一样大受欢迎。如今若不借助素数的力量,网络交易就无法进行。每当你在网上提交一份订单时,计算机就利用一些上百位的素数来提供安全保障。这种技术称作 RSA,得名于这三位发明者名字的首字母。到目前为止,已经有超过百万个素数被用于保护电子商务交易。

对黎曼假设的证明在 20 世纪进入数学界的高潮期。希尔伯特直接向全世界的数学家发起挑战,希望破解这一难题,由此揭开了这个世纪的序幕。在希尔伯特所列出的 23 道难题中,只有黎曼假设仍然是新世纪的未解之谜。

2000 年 5 月 24 日,为了纪念希尔伯特 23 问题提出 100 周年,数学家和出版界人士在法兰西公学院汇聚一堂,聆听七个新难题的宣布,以挑战新千年的数学界。这些难题出自世界上最优秀的一小群数学家,包括安德鲁·怀尔斯和阿兰·孔涅。七大问题中除了希尔伯特列出的黎曼假设之外都是新问题。这些难题都附带诱人的丰厚奖励,以迎合 21 世纪衍生的价值观。黎曼假设和其他六个难题的奖金,定为每道题 100 万美元。如果精神赞誉不够的话,物质奖励也足以刺激到邦别里虚构的年轻物理学家们。

千禧年难题的主意是由波士顿的一个名叫兰顿·T. 克雷的商人提出的,他以在行情看涨的股票市场交易公共基金来谋利。从哈佛大学数学专业辍学的他,对这一学科的热情不减。他还想将这种热情分享给更多人。他意识到,金钱对数学家来说可能并没有什么激励作用:“正是对真理的追求,对数学之美,对数学之力量以及对数学之优雅的回应,激励着数学家们。”但是克雷也不简单,作为一个商人,他知道如何用百万美元激励另一个安德鲁·怀尔斯加入到解答这旷世难题的竞争中来。的确,克雷数学研究所的网站在发布千禧年难题后的第二天,因访问量过大而崩溃了。

这七个千禧年难题,本质上和 20 世纪的 23 个难题大不相同。希尔伯特为 20 世纪的数学家安排好了新的日程表。许多难题都是刚刚起步,甚至意味着会颠覆许多人对该学科的认识。希尔伯特所列的 23 个难题并没有像费马大定理一样,引导数学家关注单一的方向,而是激励他们从更概念化的层面来思索问题。他也没有捡拾数学胜景中的单块石头,而是为数学家们提供了俯瞰整个学科的视角,并激励他们从宏观角度考虑数学。这种新的方式很大程度上归功于黎曼,早在 50 年前他就开始思索数学变革,将其从一门由公式和方程构成的学科,变成一门遍布概念和抽象理论的学科。

新千年的七个难题,其选择标准更加保守。它们是数学难题艺术展中的透纳作品。希尔伯特的问题则是现代派和前卫派合作的产物。新问题较为保守的部分原因在于,希望解决者给出的答案能够得以充分证明,从而获得百万美元奖金。千禧年难题几十年来都为数学家们所熟知,黎曼假设更是历时百年。这些问题都很经典。

克雷的 700 万美元并非首次为解决数学问题而发放的奖金。1997 年,怀尔斯就因证明了费马大定理而摘取了保罗·沃尔夫斯凯尔在 1908 年设立的奖项,获得 75 000 马克。怀尔斯早在 10 岁时就对沃尔夫斯凯尔奖的故事有了深刻的印象。克雷相信,如果他也对黎曼假设如法炮制的话,那么这 100 万美元就会有所回报。近期,英国的费伯出版社和美国的布鲁姆斯伯里出版社为证明哥德巴赫猜想的人提供百万美元的奖金,借此宣传新书——阿波斯托洛斯·佐克西亚季斯的小说《遇见哥德巴赫猜想》。为了得到这笔钱,你得弄清楚,为什么每个合数都可以写成两个素数的乘积。然而,出版社并不会给你过多时间来破解此难题。只有在 2002 年 3 月 15 日前提供的答案才算数。这两家出版社还很莫名其妙地规定,仅限美英两国居民参加此次活动。

克雷认为,数学家们很少因为自己的工作而受到奖赏和认可。例如,令人向往和追求的诺贝尔奖没有设立数学奖,取而代之的是菲尔兹奖,被视作数学界的至高荣誉。诺贝尔奖倾向于授予那些在各自的领域做出长期贡献的科学家们,而菲尔兹奖的评选仅限于 40 岁以下的数学家。这并非是受固有观念——数学家容易江郎才尽——的影响。约翰·菲尔兹,菲尔兹奖的创立者和奖金提供者,希望借此奖项激励那些最富潜力的数学家去取得更伟大的成就。该奖项每四年在国际数学家大会上颁发一次。第一届菲尔兹奖是于 1936 年在奥斯陆颁发的。

年龄是一道严格的门槛。尽管安德鲁·怀尔斯在证明费马大定理上取得了突出成就,但是菲尔兹奖委员会还是无法在 1998 年于柏林举办的国际数学家大会上授予他这一奖项。这是自他最后的证明被接受以来首次有机会被认可,可惜他生于 1953 年。他们铸造了一个特别的奖牌,以纪念怀尔斯为此所做的贡献,但是这和菲尔兹奖获得者这一卓越称号无法相提并论。获奖者囊括了我们这场戏的许多重要角色:恩里科·邦别里、阿兰·孔涅、阿特勒·赛尔伯格、保罗·科恩、亚历山大·格罗腾迪克、艾伦·贝克、皮埃尔·德利涅。这些人几乎摘取了五分之一的奖项。

但数学家并非是为了金钱而追逐这些奖项的。与诺贝尔奖提供的巨额奖金相比,菲尔兹奖提供的奖金不过 15 000 加元。因此,克雷颁发的百万美元奖金足以和诺贝尔奖相匹敌。相比于菲尔兹奖,以及费伯出版社与布鲁姆斯伯里出版社颁发的哥德巴赫猜想百万美元大奖,赢得这笔奖金不受年龄和国籍限制,也没有解题时间限制,唯一变化的只有汇率。

然而,促使数学家们破解千禧年难题的最大动力不是巨额奖金,而是数学带给人的那种不朽而令人神往的力量。攻克一个千禧年难题,你就能获得 100 万美元。但是,相比于把你的名字镌刻进探索智慧与文明的历史长河中,这根本不值一提。黎曼假设、费马大定理、哥德巴赫猜想、希尔伯特空间、欧几里得算法、哈代 - 利特尔伍德圆法,傅里叶级数、哥德尔数、西格尔零点、赛尔伯格轨迹公式、埃拉托斯特尼筛法、梅森素数、欧拉积、高斯积分等发现,使那些在探索素数之路上做出了不朽贡献的数学家名垂千古。即使我们有朝一日或许会忘记埃斯库罗斯、歌德和莎士比亚这样的名字,那些名字依旧永垂不朽。正如哈代所言:“语言会消亡,而数学思想却不朽。‘不朽’或许听起来虚无缥缈,但或许数学家最有发言权来解释该词的意义。”

那些在探索素数这一伟大征程中做出长久而不懈努力的数学家们,不仅仅是数学里程碑上所铭记的那些名字。素数的故事是一个个鲜活的人物的真实经历。法国大革命的历史人物和拿破仑的朋友们,纷纷向现代的魔术师和网络公司让步。来自印度的职员,兢兢业业执行任务的法国间谍,还有逃离第二次世界大战(简称二战)战火的匈牙利裔犹太人,这三个人的命运都因探索素数的奥秘而交织在一起。所有这些人致力于提出独特观点的目的,就是希望自己的名字能留存在数学的历史长河中。素数让世界各地的数学家们走到了一起,中国、法国、希腊、美国、挪威、澳大利亚、俄罗斯、印度和德国等国都诞生过杰出的数学家。他们都会在每四年举办一次的国际数学家大会上讲述自己的探索故事。

留名青史并非激励数学家的唯一动力。就像希尔伯特敢于探索未知一样,黎曼假设的证明也将开启一段新旅程。当怀尔斯在宣布克雷奖的媒体发布会上做演讲时,他强调问题的解决并不等于为此画上了句号:

有一个崭新的数学世界等待着我们去发现。想象一下 1600 年的欧洲人,他们知道大西洋的对岸是一片新世界。对于那些曾在建设美国的过程中做出贡献的人们,应该给他们颁发什么奖项呢?不是飞机发明奖,不是计算机发明奖,不是芝加哥城市建设奖,也不是小麦收割机发明奖。虽然上述这些事物已成为美国人生活的一部分,但这些都是 1600 年的欧洲人所无法想象的。他们应该为解决经度问题的人颁发一个奖项。


黎曼假设就是数学界的“经度问题”。黎曼假设的解答能为人们探索数字海洋中的神秘水域提供线索。它也仅仅是我们探索自然之数字的一个开始。如果我们仅仅揭开的是如何寻找素数的秘密,那么前方是否又有更多秘密等着我们去发现呢?


题图为电影《证明我爱你》剧照,来自:豆瓣

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